유리수와 소수

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중학교 2학년 내용입니다

지수를 1차원으로 표현하는 방법이 없어서 다음과 같이 표현합니다.

2의 3승을 표현하고자 할 때 2 ^ 3

3의 제곱을 표현하고자 할때 3 ^ 2

분수도 1차원으로 표현하기가 쉽지 않습니다. 3분의 2는 2 / 3으로 표현합니다.

 

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1. 유리수 와 소수

유리수: a, b가가 정수이고, b≠0일 때, 분수a/b의 꼴로 나타낼 수 있는 수.

 

[예] 4/5, 7=7/1, -2=-2/1

 

 

2. 소수의 분류

(1) 유한 소수

소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수 / [예] 12.34, 1.004

 

(2) 무한 소수

소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수 / [예] 2.55..., 1.234...

 

 

3. 유한 소수로 나타낼 수 있는 분수

 

(1) 유한소수의 분수표현

 ⓐ 유한 소수는 분모가 10의 거듭제곱의 꼴인 분수로 나타낼 수 있다.

 ⓑ 유한 소수를 기약 분수로 나타내면 분모의 소인수는 2 또는 5뿐이다.

[예] 유한소수는 0.9 = 9/10, 0.29 = 29/100과 같이 분모가 10의 거듭제곱인 꼴의 분수로 나타 낼 수 있다.

이때 이들의 분모를 각각 소인수분해하면 10=2*5, 100=2^2*5^2이므로 유한소수를 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는2 또는 알 수 있다.

 

★★ 기약분수는 분자와 분모의 최대공약수가 1인 분수를 말합니다. 이것은 분수를 더 단순한 형태로 표현하는 것입니다. 예를 들어, 분수 2/4는 기약분수가 아닙니다. 왜냐하면 2와 4의 최대공약수는 2이기 때문입니다. 그러나 이를 간단히 하여로 표현하면 이는 기약분수입니다. 기약분수로 표현되는 것은 같은 비율을 나타내지만 더 간단하고 직관적입니다. 따라서 수학 문제를 해결하거나 분수를 비교할 때 기약분수로 변환하는 것이 흔히 사용되는 방법 중 하나입니다.

 

(2) 유한소수와 무한소수의 판별

 ⓐ 주어진 분수를 기약분수로 고친다.

 ⓑ 분모를 소인수 분해한다.

 ① 분모의 소인수가2 또는 유한소수이다.

 ② 분모의 소인수 중에2 또는 소인수가 있으면 무한소수이다.

[예 1]분모의 소인수가 2와5 뿐이므로 유한소수이다.

[예 2]분모의 소인수가 2와5 이외의 소인수 3이 있으므로 무한소수이다

 

1/3 -> 0.33333

1/7 -> 0.1428571428

2/7 -> 0.2857142857

3/7 -> 0.4285714285

4/7 -> 0.5714285714

5/7 -> 0.7142857142

6/7 -> 0.8571428571

8/9 -> 0.88888

1/11 -> 0.090909

2/11 -> 0.181818 

1/13 -> 0.0769230769

2/13 -> 0.1538461538

 

분모가 7인 수는 정말 예술입니다.

 

이와 같이 분수로 표현 가능한수는 유리수입니다.

 

순환소수를 분수로  표현하는 방법은 다음 시간에..

 

 

실전 테스트

[연습문제 1] 다음 분수 중 유한 소수로 나타낼 수 있는 것을 모두 고르세요.

① 7/75  ② 18/32  ③ 5/2 * 5^2  ④ 7/ 2^3 * 3^2 * 5  ⑤ 45/150

 

 

[연습문제 2] 분수 a / 112를 소수로 나타내면 유한소수가 될 때의 값이 될 수 있는 가장 큰 두 자리 자연수를 구하시오.

 

 

[연습문제 3] 두 분수 13/45 , 10/28에 각각 어떤 자연수 N을 곱하여 소수로 나타내었더니 모두 유한 소수가 되었다. 이때 가장 작은 자연수 N의 값을 구하시오.

 

 

[연습문제 4] 분수 3 / 2^3 * X을을 소수로 나타내면 유한 소수가 될 때,한자리 자연수 X의 개수를 구하시오.

 

 

[연습문제 5] 분수a/350를 소수로 나타내면 유한소수가 되고, 기약분수로 나타내면 2/b가 된다. 5 <a <30인 자연수 일 때,의 값을 구하시오.

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